5.1. Movimiento rectilíneo: ecuaciones diferenciales del movimiento, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y caída libre de cuerpos



Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

  1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
  2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
  3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son
 

a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}

nota 
 
En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la funciónv(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a)v(t)=at+ v_0 \,

siendo v_0\, la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3)x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0

donde x_0\, es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b)v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,

Movimiento acelerado en mecánica relativista


 
Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4)\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5)\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6)x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7)\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler[editar]

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métrica de dichoespacio-tiempo:

ds^2 = -c^2dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \qquad (T, X, Y, Z)\in\R^4

Considérese ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

\mathcal{R}_{Rind} = \{(T,X,Y,Z)\in\R^4|\ 0 < X < \infty, \; -X < T < X\}

Y defínase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

\begin{cases} t = \cfrac{c}{\alpha}\operatorname{arctanh}\left(\cfrac{cT}{X}\right), \; x=\cfrac{c^2}{\alpha} \ln \left(\cfrac{\alpha}{c^2}\sqrt{X^2-c^2T^2} \right)\; y = Y, \; z = Z\\ T = \cfrac{c}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \sinh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; X = \cfrac{c^2}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \cosh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; Y = y, \; Z = z \end{cases}

Donde:

\alpha\,, es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.1
(t,x,y,z)\,, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.

Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:

ds^2 = e^\frac{2\alpha x}{c^2}(-dt^2+dx^2)+dy^2+dz^2, \qquad (t, x, y, z) \in \times\R^4

Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleración obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacionada con el valor de la coordenada x:

\nabla_{\mathbf{e}_0} \mathbf{e}_0 = \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}\ \mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{a} = (a^0; a^1, a^2, a^3) = \left(0; \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}, 0, 0\right)

Horizonte de Rindler[editar]

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):

H^-_{Rind} = \{(T, X, Y, Z)|X^2-c^2T^2 = 0\} = \{(t,x,y,z)| x = -\infty \}

tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de unagujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.

El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento acelerado en mecánica cuántica[editar]

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica[editar]

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria, por lo que sólo existen análogos cuánticos imperfectos del movimiento rectilíneo clásico. El equivalente cuántico más simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partícula cuántica (no relativista y sin espín) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energía potencial es una función lineal de la coordenada.

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \Psi}{\part x^2} - xF \psi(x,t) = i\frac{\part \Psi(x,t)}{\part t}

La solución general de esta ecuación puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuación estacionaria:

\Psi(x,t)= \left(\frac{m}{\hbar^2F^2}\right)^{1/3} \int_{-\infty}^{+\infty} A_E\ \hat{\psi}(x;E)e^{-iEt/\hbar}\ dE

Donde \scriptstyle A_E la amplitud es una función de la energía que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la función \scriptstyle \hat{\psi}(x;E) en el integrando debe ser solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi_E}{\part x^2} - xF \psi_E(x) = E\psi_E(x), \qquad \psi_E(x):= \hat{\psi}(x;E)

Donde:

\hbar\, es la constante de Planck racionalizada.
m\, es la masa de la partícula.
F\, es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.
E\, es la energía de un estado estacionario del hamiltoniano cuántico.

Haciendo el cambio de variable:

\bar{x} = - \left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (E+xF)

Entonces la ecuación (*) equivale a la ecuación:

\frac{d^2 \psi_E(\bar{x}) }{d\bar{x}^2} - \bar{x} \psi_E(\bar{x}) =0

Que es la ecuación de Airy, por lo que la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:

\psi_E(x)=A \mathrm{Ai}(\bar{x}) + B \mathrm{Bi}(\bar{x})

Por consideraciones físicas B = 0, ya que en caso contrario la anterior función no sería acotada.

\psi_E(x)= A \mathrm{Ai}\left[\left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (Fx +E)\right]

Nótese que la ecuación anterior tiene solución para cualquier valor de E y por tanto los estados energéticos posibles de una partícula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuánticos con niveles de energía discretos).

Efecto Unruh[editar]

Artículo principal: Efecto Unruh

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).2

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observadorinercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.3 La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}

Donde:

k\,, constante de Boltzmann.
\hbar, constante de Planck racionalizada.
c\,, velocidad de la luz.
T\,, temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.
a\,, aceleración del observador uniformemente acelerado.


video en el el que se muestra la explicacion de  este punto 

https://youtu.be/lMaiVDD3YdE 

ficha bibliográfica:https://www.fisicalab.com/

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