5.2. Movimiento curvilíneo: movimiento parabólico, oscilatorio y circular.

Movimiento curvilíneo

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt. El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P. En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Dv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Ejemplo 1:

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t³-3t², y=t²-2t+1 m. Calcular:

• Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

v_x=6t²-6t  m/s
v_y=2t-2 m/s

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

a_x=12t m/s²
a_y=2 m/s²

Ejemplo 2:

Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: v_x=4t³+4t, v_y=4t m/s. Si en el instante inicial t₀=0 s, el móvil se encontraba en la posición x₀=1, y₀=2 m. Calcular:

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante

·        Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.

Dada la velocidad v_x=4t³+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

x=t⁴+2t²+1 m

Dada la velocidad v_y=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

y=2t²+2 m

Ejemplo 3:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s². Calcular:

• La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto

• La altura máxima

• Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba. Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleración ay=-10. Se escriben las ecuaciones del movimiento

• Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

a_x=2   
v_x=2t
x=2t²/2

• Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)

a_y=-10
v_y=20+(-10)t
y=20t+(-10)t²/2

1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.

y=-50 m
t=1.74 s
x=3.03 m

2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero

v_y=0 m/s
t=2 s
y=20 m

La altura desde el suelo es 20+50=70 m.

3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces

10=20t+(-10)t²/2
t₁=0.59 s y t₂=3.41 s.

 

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo q entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: a_t=a cosq  y  a_n=a senq

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t²-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

v_x =3t-2 m/s,   a_x=3 m/s²
v_y=6t²-5 m/s,  a_y=12t m/s²

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

v_x =4 m/s,   a_x=3 m/s²
v_y=19 m/s,  a_y=24 m/s²

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el ángulo q  que forman el vector velocidad y el vector aceleración

• Por el producto escalar: v·a=v·a·cosq
• Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

a_t=a·cosq =24.1 m/s²
a_n=a·senq=2.0 m/s²

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v·a=va·cosθ=v·a_t

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial a_t

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,  tal como se aprecia en la figura.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido u_t=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario u_t, es la componente tangencial de la aceleración

El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cosθ·i+senθ·j

Su derivada es

El vector aceleración es

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.
• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

• 
  

Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..


vídeo explicación acerca de movimiento curvilíneo 
https://youtu.be/ASqNxccZxX0

Movimiento parabolico

El movimiento parabólico es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento parabólico.

El movimiento parabólico se puede analizar como la unión de dos movimientos. Por un lado, la trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que va paralelo al suelo) describirá un movimiento rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la partícula al elevarse o caer verticalmente (en proyección sobre el eje de las y) describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, donde la aceleración es la gravedad.

Nota: la gravedad normalmente se considera g = 9.81 m/s².

Para hacernos una idea visual de los dos componentes del movimiento parabólico, imaginemos un lanzamiento de peso de atletismo.

Si pudiésemos seguir el recorrido de la bola verticalmente desde arriba, en el mismo plano vertical de la trayectoria, desde esa posición privilegiada veríamos la bola avanzar a una velocidad constante, desde la salida de la mano del atleta hasta que la bola toca el césped. Apreciaríamos un movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante).

Pero si nos pudiésemos situar sobre el césped, detrás de donde se ubican los jueces y que estuviésemos también justo en el plano vertical de la trayectoria (es decir, que lanzase hacia nosotros) nos daría la impresión de que la bola sube y baja como si se tratase de un lanzamiento vertical hacia arriba (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).

Una de las aplicaciones más importantes del movimiento parabólico es la balística. La balística es la ciencia que estudia la trayectoria de las balas o proyectiles. Ciertos proyectiles son lanzados desde un cañón con un ángulo determinado calculado para que el proyectil recorra una parábola e impacte en el objetivo esperado.

(Nota: estudiamos aquí el movimiento parabólico aplicado a la balística desde un punto de vista teórico. En la práctica, la balística debe de corregir los cálculos en función de otros factores, como el rozamiento del proyectil con la atmósfera, el viento, la presión atmosférica, la esfericidad y la rotación de la tierra, etc.).

Tipos de movimiento parabólico

Existen diferentes tipos de movimiento parabólico dependiendo desde donde empieza o acaba el movimiento del cuerpo. Por ejemplo:

• Movimiento parabólico completo: el cuerpo recorre una parábola completa, empezando y acabando en el suelo.
• Movimiento de media parábola: el cuerpo empieza el movimiento desde cierta altura y es lanzado parabólicamente con una fuerza horizontal, en un punto que sería el punto más alto de la parábola completa ideal.
• Otros movimientos parabólicos: existen muchos casos particulares del movimiento parabólico, por ejemplo el lanzamiento de una pelota desde el suelo a la terraza de una casa o el lanzamiento a canasta de un jugador de baloncesto. Siempre son tramos de una teórica parábola completa.

Todos los elementos de los movimientos parabólicos se pueden calcular a partir del movimiento parabólico completo.

Velocidad

La velocidad inicial del cuerpo (v₀) tiene dos componentes, la componente horizontal, en el eje X y la componente vertical, en el eje vertical Y. Depende de la fuerza con la que salga la partícula y el ángulo de lanzamiento.

La componente horizontal de la velocidad x será constante, ya que es un movimiento uniforme. La componente vertical de la velocidad y disminuye inicialmente por la gravedad, hasta hacerse nula en el punto más alto de la trayectoria. A partir de ese punto, vuelve a crecer uniformemente acelerada por la gravedad. La fórmula de la velocidad es:

Aceleración

La aceleración solamente está presente en la componente vertical. El movimiento horizontal es uniforme mientras que sobre la componente y influye la aceleración de la gravedad, que hace que se frene el cuerpo (en el caso de que esté subiendo) hasta volver a acelerarse al descender y caer al suelo.

Posición

En la posición del objeto también intervienen las fórmulas de la posición del movimiento rectilíneo uniforme (sentido horizontal) y la posición del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (sentido vertical).

Altura máxima

En el movimiento parabólico, existe un punto (y sólo un punto) donde la partícula se encuentra en el punto más alto de su trayectoria.

En ese punto, la componente vertical de la velocidad es nula.

La fórmula para determinar la altura máxima no depende del tiempo.

A igual velocidad inicial y aceleración de la gravedad, la altura máxima de una trayectoria parabólica dependerá del ángulo θ de la velocidad inicial v₀.

La máxima altura que se puede alcanzar con una velocidad v₀ determinada se corresponde con un ángulo de lanzamiento θ = 90°.

Alcance horizontal máximo

La partícula o cuerpo llegará a su alcance horizontal máximo cuando caiga al suelo, es decir, cuando y sea cero. Podemos calcular el alcance sin saber el tiempo que ha tardado en recorrer la parábola la partícula o conociéndolo.

• Fórmula del alcance siendo el tiempo de trayectoria de la partícula desconocido
  

  (Para comprobar la deducción de esta fórmula, consultar razones trigonométricas del ángulo doble)

  El alcance máximo que se podrá lograr con un proyectil (a igual velocidad inicial v₀), será con un ángulo θ = 45°.

  Por ejemplo, se obtendrá el mismo alcance horizontal para ángulos de lanzamiento θ = 45° ± m. El proyectil tendrá el mismo alcance, tanto si se lanza con ángulos θ = 45° ± 15°, es decir θ = 30° y θ = 60°, ya que sen (2 · 30°) = sen (2 · 60°). Idénticos alcances se obtendrán con ángulos θ = 45° ± 30°, es decir θ = 15° y θ = 75°, puesto que sen (2 · 15°) = sen (2 · 75°). Y es que en la fórmula interviene sen (2θ). Pero, insistimos, el alcance máximo se logra con θ = 45°.

• Fórmula del alcance siendo el tiempo de trayectoria de la partícula conocido (t_t)
  

Llamamos tiempo de vuelo (T_vuelo) al que invierte el cuerpo o el proyectil en realizar el movimiento completo hasta llegar a tierra, es decir a la misma altura del punto de salida.

Ejercicios resueltos del movimiento parabólico

Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

• Altura máxima del balón
• Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
• Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

La altura máxima será:

El alcance del saque del portero será:

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s² (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v_0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será v_y = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:

Como v_y = 0:

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 s.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario pasa sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v₀ en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen, como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Sabemos que v₀ · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v₀). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Sabemos también que v₀ · sen θ es la componente vertical de la velocidad v₀ y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y₀ = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Volvemos a la expresión anterior de v₀.

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v₀ buscada.

Ejercicio 4

Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s, cuando suelta una bomba.

5 segundos más tarde, un cañón situado bajo la trayectoria del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que el bombardero soltó la bomba (se supone que el cañón, en el suelo, está a 3200 pies bajo la trayectoria del avión), dispara un proyectil. Si el proyectil hace explotar la bomba a 1600 pies de altura. Hallar el ángulo de elevación del cañón y la velocidad inicial del proyectil.

En primer lugar, estudiamos el movimiento parabólico de la bomba, desde que la suelta el avión hasta el momento del impacto con el proyectil y la explosión.

La bomba comienza su recorrido a 3200 pies de altura con una velocidad inicial horizontal de 400 ft/s y, durante la caída, cuando llega a los 1600 pies impacta y explota.

Apliquemos la ecuación de la componente vertical del recorrido en el movimiento parabólico, tomando como sistema de referencia coordenadas con origen en el suelo en el punto de la vertical del momento de soltar el avión la bomba.

El vuelo es horizontal, luego el ángulo de salida de la bomba θ_0b será cero, igual que su seno. Adoptamos un valor de la aceleración de la gravedad constante g = 32,18 ft/s².

Aplicamos valores a la ecuación anterior y despejamos t_b, el tiempo en que tarda la bomba en caer desde los 3200 ft iniciales a los 1600 ft en que explota:

Conocido el tiempo de vuelo de la bomba, aplicaremos la siguiente fórmula para la componente horizontal del movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme:

La proyección horizontal del recorrido de la bomba son 3988,8 pies.

Ahora, conocidos los datos del movimiento de la bomba, vamos a estudiar el movimiento parabólico del proyectil disparado:

Nos dice el ejercicio que el cañón dispara el proyectil 5 segundos más tarde, por lo que el tiempo de vuelo del proyectil t_p será:

También nos dice el ejercicio que el cañón está situado en el suelo y en la vertical la trayectoria del vuelo del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que se suelta la bomba.

Y el proyectil intercepta a la bomba a una altura sobre el suelo de 3200 – 1600 = 1600 pies.

Con estos datos, determinaremos el ángulo de elevación θ_0p y la velocidad de tiro del cañón v_0p:

Lo referenciaremos al sistema de coordenadas citado, el que tiene su origen en el suelo, justo en la proyección vertical del punto en que el avión suelta la bomba:

Como los dos móviles chocan en un punto, x_ib = x_ip = x_i. Y también y_ib = y_ip = y_i.

Aplicamos una de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje Y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

El signo menos es porque el sentido ascendente de la velocidad es contrario al de la aceleración de la gravedad.

Sustituimos valores:

Ahora, aplicamos otra de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje X del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Sustituimos valores:

Elevamos al cuadrado, miembro a miembro, las ecuaciones (1) y (2). La igualdad se mantiene:

Desarrollamos:

Sumamos miembro a miembro ambos términos de las dos igualdades, con lo que la igualdad se mantiene. Sacamos factor común:

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Por lo que:

La velocidad inicial del proyectil será de 1852,73 ft/s.

El ángulo de elevación del cañón lo calcularemos trigonométricamente, partiendo de la igualdad (1) :

El valor del ángulo lo hallaremos mediante el arcoseno:

El ángulo de elevación del cañón es 12,41°.

Ahora vamos a resolver la trayectoria del proyectilpor otro procedimiento, que muestra cómo un movimiento parabólico es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con otro vertical pero movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La componente horizontal de este movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme, la podemos hallar fácilmente porque conocemos la proyección horizontal del recorrido del proyectil:

Y el tiempo en movimiento del proyectil (los 4,97 segundos calculados arriba).

Ésta es la componente horizontal de la velocidad:

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil .

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v_0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p:

A la vista de la figura, hallamos v_0p mediante el teorema de Pitágoras:

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p lo hallaremos trigonométricamente:

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil.

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v_0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p:

A la vista de la figura, hallamos v_0p mediante el teorema de Pitágoras:

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p lo hallaremos trigonométricamente:

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

video para mas informacion 
blob:https://www.youtube.com/884430ab-5026-4f2c-94e0-e30e15f26a24

EL MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/03/2016

Movimiento periódico y oscilatorio (Fuente: Wikipedia)

El movimiento de un cuerpo unido a un muelle es un movimiento periódico, pues en él se repiten todas las magnitudes del movimiento a intervalos regulares de tiempo. Como puedes apreciar en la imagen, se produce un movimiento de ida y vuelta en el que en cada una de las posiciones el cuerpo tiene una velocidad y aceleración determinadas, que hacen que se reproduzca de manera reiterada a lo largo del tiempo. Se dice, entonces, que tiene lugar un movimiento oscilatorio o vibratorio.

Un movimiento oscilatorio es un movimiento periódico de vaivén en torno a una posición central, denominada posición de equilibrio.

Entonces, un movimiento oscilatorio es siempre un movimiento periódico. Sin embargo, un movimiento periódico no es necesariamente un movimiento oscilatorio. Por ejemplo, los movimientos circulares uniformes, como el giro de un plato en el microondas o la rotación terrestre (suponiendo una órbita circular), son movimientos periódicos, que se repiten en intervalos fijos de tiempo llamados periodos, pero en los que no se produce oscilación alguna en torno a una posición de equilibrio.

Una partícula o un sistema que posee un movimiento oscilatorio constituye un oscilador. Si sobre el oscilador no actuasen fuerzas de rozamiento, oscilaría de manera indefinida. Sin embargo, en los movimientos oscilatorios se producen pérdidas de energía debidas a fuerzas disipativas que amortiguan la vibración (se habla, entonces, de osciladores amortiguados). Para mantener constante este movimiento habría que suministrar a la partícula o al sistema una energía igual a la disipada por el rozamiento (osciladores forzados o sostenidos).

Aunque existen muchos ejemplos familiares de movimientos oscilatorios, como las vibraciones en las cuerdas de algunos instrumentos o el péndulo de un reloj, muchos otros son menos evidentes e imperceptibles, como las vibraciones de los átomos o las moléculas de un cristal o las oscilaciones electromagnéticas de las ondas de radio o televisión.

El funcionamiento de un reloj se basa en un mecanismo de oscilaciones sincronizadas que se repiten periódicamente a intervalos constantes de tiempo. En los relojes de péndulo, las oscilaciones son mecánicas, mientras que en los de cuarzo, son eléctricas.

PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO

Todo movimiento oscilatorio o vibratorio se caracteriza por una serie de parámetros, que describimos a continuación:

Periodo (T): es el tiempo que se necesita para describir una un oscilación completa (movimiento de ida… ¡y vuelta!). Se mide en segundos (s).
Frecuencia (f o ν): es el número de oscilaciones completas efectuadas por unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz).

Elongación (x, y o z): es la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio. Se mide en metros (m).
Amplitud (A): es el valor máximo de la elongación, por lo que la distancia entre las dos posiciones extremas es igual a 2A. Se mide en metros (m).

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Siempre que una partícula se desplaza desde una posición de equilibrio estable, el movimiento de la partícula es armónico simple (si los desplazamientos son suficientemente pequeños). La partícula que describe un movimiento (vibratorio) armónico simple se denomina oscilador armónico, y está constantemente sometida a una fuerza restauradora, proporcional a la elongación, que se opone al movimiento.

video para mas informacion 

https://youtu.be/DUhAo_eX4fc

Movimiento circular

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Movimiento circular.

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio, centro fijo y velocidad angular constante.

Índice

• 1Conceptos
  • 1.1Paralelismo entre el movimiento rectilíneo y el movimiento circular
    • 1.1.1Arco descrito
    • 1.1.2Velocidad angular y velocidad tangencial
    • 1.1.3Aceleración angular y tangencial
• 2Período y frecuencia
• 3Aceleración y fuerza centrípeta
  • 3.1Mecánica clásica
  • 3.2Mecánica relativista
• 4Véase también
• 5Referencias

Conceptos

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

• Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).
• Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).
• Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, ${\displaystyle \omega }$).
• Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, ${\displaystyle \alpha }$).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes:

• Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).
• Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.
• Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

Paralelismo entre el movimiento rectilíneo y el movimiento circular

Movimiento

Lineal	Angular
Posición	Arco
Velocidad	Velocidad angular
Aceleración	Aceleración angular
Masa	Momento de inercia
Fuerza	Momento de fuerza
Momento lineal	Momento angular

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt, dado, se tiene:

Arco descrito

Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con las letras griegas ${\displaystyle \varphi \,}$ (phi) o ${\displaystyle \theta \,}$ (theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular (${\displaystyle \varphi _{p}}$ o ${\displaystyle \theta _{p}}$) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

${\displaystyle \Delta \varphi =\varphi _{f}-\varphi _{o}\qquad {\mbox{ó}}\qquad \Delta \theta =\theta _{f}-\theta _{o}}$

Siendo ${\displaystyle \Delta \varphi }$ o ${\displaystyle \Delta \theta }$ el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama ${\displaystyle e,}$ al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio ${\displaystyle R,}$ se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

${\displaystyle e=R\Delta \varphi =R(\varphi _{f}-\varphi _{o})\qquad {\mbox{ó}}\qquad s=R\Delta \theta =R(\theta _{f}-\theta _{o})}$

En ocasiones se denomina ${\displaystyle s,}$ al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio y circunferencia.

Velocidad angular y velocidad tangencial

• Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra ${\displaystyle \omega \,}$ (omega minúscula) y viene definida como:

${\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\varphi _{f}-\varphi _{o}}{t_{f}-t_{o}}}\qquad {\mbox{ ó }}\qquad \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}}$

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

• Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si ${\displaystyle v_{t}}$ es el módulo de la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

${\displaystyle v_{t}=\omega \,R}$

Aceleración angular y tangencial

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: ${\displaystyle \alpha \,}$ y se la calcula:

${\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}}$

Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

${\displaystyle a_{t}=R\,\alpha \;}$

Período y frecuencia

El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$

La frecuencia es la inversa del período, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s^-1

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}}$

Aceleración y fuerza centrípeta

Mecánica clásica

La aceleración centrípeta, también llamada normal o radial, afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

${\displaystyle a_{c}=a_{n}={\frac {v_{t}^{2}}{R}}=\omega ^{2}R}$

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

${\displaystyle F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{R}}=m\omega ^{2}R}$

Mecánica relativista

En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. En un movimiento curvilíneo general, si el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en un momento dado es ${\displaystyle \alpha }$ entonces el ángulo ${\displaystyle \beta }$ formado por la fuerza y la aceleración es:

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {1+{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}(1-\cos ^{2}\alpha )}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}(1-\cos ^{2}\alpha )\right)^{2}+{\cfrac {v^{4}}{c^{4}}}\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\alpha }}}}$

Para el movimiento rectilíneo se tiene que ${\displaystyle \sin \alpha =0}$ y por tanto ${\displaystyle \beta =0}$ y para el movimiento circular uniforme se tiene ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ y por tanto también ${\displaystyle \beta =0}$. En el resto de casos ${\displaystyle \beta \neq 0}$. Para velocidades muy pequeñas y ángulos expresados en radianes se tiene:

${\displaystyle \beta \approx {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cos \alpha \sin \alpha +O\left({\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)}$

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blob:https://www.youtube.com/e316e265-f744-4942-87a7-41a7981f128e 
ficha bibliográfica:https://www.fisicalab.com/